Условие задачи¶
Дано:
- твердое тело, в массе которого распространяется тепло от нескольких источников
- тело - куб $[0, L] \times [0, L] \times [0, L]$ с коэффициентом диффузии $D = 1.0$
- в центре куба расположен шар радиуса $R = \dfrac{L}{5}$ с низким коэффициентом диффузии $D_R = 10^{-16}$
- $T_0 = 0$ - начальная температура во всем объеме куба
- граничные условия на гранях куба двух видов:
- фиксированная температура на гранях
- $x = 0$
- $y = L$
- абсолютная теплоизоляция на гранях
- $x = L$
- $y = 0$
- $z = 0$
- $z = L$
- фиксированная температура на гранях
в массе куба расположены источники тепла, мощность которых меняется по периодическому закону $\dot{q}_i = p_i \cdot (\sin(\dfrac{2\pi}{\theta_i}t + \phi_i) + 1)$
пластина 0:
- центр $(0.2L, 0.5L, 0.5L)$
- размеры (от центра до края) $(4/dx, 0.2L, 0.2L)$
- $p_0 = 100$, $\theta_0 = 50$, $\phi_0 = 0$
пластина 1:
- центр $(0.5L, 0.2L, 0.5L)$
- размеры (от центра до края) $(0.2L, 4/dx, 0.2L)$
- $p_0 = 100$, $\theta_0 = 77$, $\phi_0 = 10$
координаты проб, для которых необходимо построить графики изменения температуры от времени
- проба 0: $(0.3L, 0.3L, 0.5L)$
- проба 1: $(0.3L, 0.7L, 0.5L)$
- проба 2: $(0.7L, 0.7L, 0.5L)$
- проба 3: $(0.7L, 0.3L, 0.5L)$
$dx$ - шаг пространственного разбиения по всем трем измерениям
- $t_m = 600$ c - общее время моделирования
Требуется:
- согласно уравнению диффузии смоделировать распространение тепла в кубе на заданное время $t_m$ при:
- $L = 100$
- $(dx, dt) \in [(4, 0.2), (2, 0.1), (1, 0.05), (0.5, 0.025)]$
для каждой пары $(dx, dt)$:
вывести время расчета
сохранить в файл(ы) и использовать в пунктах 3-5:
- температурное поле в конечный момент времени
- замеры температуры в местах установки проб
построить цветовую карту в конечный момент времени в сечении $z = 0.5L$
- подписать оси,
- отобразить цветовую шкалу (colorbar),
- отобразить пробы в виде точек и подписать их номера.
на одном рисунке построить графики температур в местах установки проб
- подписать оси,
- вывести легенду.
используя быстрое преобразование Фурье, восстановить периоды колебаний температуры в местах установки проб
np.fft.rfft,np.fft.rfftfreq,scipy.signal.find_peaks
Описание:
Распространение тепла можно описать при помощи уравнения диффузии (уравнение с частными производными):
$\frac{\partial{T}}{\partial{t}} = D \left(\frac{\partial^2{T}}{\partial{x^2}} + \frac{\partial^2{T}}{\partial{y^2}} + \frac{\partial^2{T}}{\partial{z^2}} \right) + \dot{q}$, где
- $T(t, x, y, z)$ - поле температур
- $D(x, y, z)$ - коэффициент диффузии
- $\dot q(t, x, y, z)$ - функция источников тепла
Для решения нестационарной задачи распространения тепла рассматриваемое тело представляют в виде сетки с равномерным шагом, а дифференциальное уравнение заменяют на конечно-разностное. Рассмотрим схему FTCS, т.е. производная по времени заменяется на правую разность (Forward Time), а вторая производная по пространственным переменным заменяется на центральную разность (Central Space).
$\frac{\partial{T}}{\partial{t}} \rightarrow \frac{T^{n}_{i,j,k} - T^{n-1}_{i,j,k}}{dt}$
$\frac{\partial^2{T}}{\partial{x^2}} \rightarrow \frac{T^{n-1}_{i-1,j,k} - 2T^{n-1}_{i,j,k} + T^{n-1}_{i+1,j,k}}{dx^2}, ...$
$\frac{T^{n}_{i,j} - T^{n-1}_{i,j}}{dt} = \frac{D_{i,j}}{dx^2} \left(T^{n-1}_{i-1,j,k} + T^{n-1}_{i+1,j,k} + T^{n-1}_{i,j-1,k} + T^{n-1}_{i,j+1,k} + T^{n-1}_{i,j,k-1} + T^{n-1}_{i,j,k+1} - 6T^{n-1}_{i,j,k}\right) + \dot{q}$
Итоговая рекуррентная формула для вычисления температуры в момент времени $n \cdot dt$ в ячейке сетки $(i, j, k)$ на основании данных в момент времени $(n-1) \cdot dt$:
$T^{n}_{i,j} = T^{n-1}_{i,j} + \frac{dt D_{i,j,k}}{dx^2} \left(T^{n-1}_{i-1,j,k} + T^{n-1}_{i+1,j,k} + T^{n-1}_{i,j-1,k} + T^{n-1}_{i,j+1,k} + T^{n-1}_{i,j,k-1} + T^{n-1}_{i,j,k+1} - 6T^{n-1}_{i,j,k}\right) + dt \cdot \dot{q}^{n}_{i,j,k}$
Временной шаг $dt$ должен быть таким, чтобы учитывать условие Курранта: $dt = \frac{C \cdot dx}{D}$, где $C$ - число Курранта.
В этой задаче рассматриваются граничные условия двух видов - фиксированная температура и абсолютная теплоизоляция. Оба вида граничных условий указаны на гранях куба. Таким образом, расчет распространения тепла выполняется для всех ячеек сетки, за исключением расположенных на гранях куба, т.е. $i, j, k \in (0, N-1)$, где $N = L / dx$. Граничное условие в виде фиксированной температуры записывается в соответствующие граням куба ячейки сетки.
Например, для грани $x = 0$: $T^{n}_{0,j,k} = T_*$, грани $x = L$: $T^{n}_{N-1,j,k} = T_*$.
Граничное условие в виде абсолютной теплоизоляции означает, что через заданную грань нет потока тепла, а это достижимо, если температура в ячейках грани и прилегающим к ним ячейкам одинаковая.
Например, $x = 0$: $T^{n}_{0,j,k} = T^{n}_{1,j,k}$, грани $x = L$: $T^{n}_{N-1,j,k} = T^{n}_{N-2,j,k}$.
Материалы:
